Zadanie 5
2025
Etap III
Kombinatoryka
Logika
Plansza z liczbami 0–4
Tytuł zadania przepisała z PDF-u AI. Poziom trudności, kategorie, umiejętności i powiązania zadań też wyznaczyła AI — mogą być niedokładne. Więcej w regulaminie
Treść zadania
Treść zadania przepisana z PDF-u przez AI — w razie wątpliwości sprawdź oryginalny PDF. Więcej w regulaminie
W każde pole planszy wpisano jedną z liczb . Jeżeli w pewne pole wpisano liczbę , to w dokładnie pól z nim sąsiadujących również wpisano liczbę . Przykładowo każde pole z liczbą sąsiaduje z dokładnie dwoma innymi polami z liczbą . Wykaż, że liczba pól, w które wpisano , jest nieparzysta.
*Uwaga.* Pola *sąsiadują*, jeśli mają dokładnie jeden wspólny bok.
*Uwaga.* Pola *sąsiadują*, jeśli mają dokładnie jeden wspólny bok.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Parzystość i nieparzystość
Grafy
Zdobywane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Parzystość i nieparzystość
Wskazówki (0/4)
Wskazówki wygenerowane przez AI — mogą zawierać błędy. Więcej w regulaminie
Wskazówka 1
Spróbuj zrozumieć warunek: każde pole z wpisaną liczbą ma dokładnie sąsiadów z tą samą liczbą. Rozważ osobno pola z każdą wartością i pomyśl, jakie ograniczenia narzuca ten warunek na ich liczbę.
Wskazówka 2
Pomyśl o podwójnym zliczaniu. Dla ustalonej wartości rozważ pary sąsiadujących pól, w których obie liczby są równe , i policz takie pary na dwa różne sposoby.
Wskazówka 3
Dla każdego sprawdź parzystość liczby pól z liczbą . Liczba sąsiadujących par pól z liczbą wynosi (liczba takich pól) podzielone przez — co to mówi o parzystości liczby pól dla i ?
Wskazówka 4
Plansza ma nieparzyście wiele pól. Skoro dla pewnych wartości udało Ci się pokazać, że liczba pól jest parzysta, spróbuj jeszcze pokazać parzystość liczby pól z liczbą i , patrząc na strukturę ich wzajemnych połączeń (np. cykle lub składowe).