Trener OMJ

Zadanie 4

2025
Etap III
Geometria
Trójkąt równoramienny z okręgu

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2014)
Zad. 5 (2011)
Zad. 6 (2010)

Tytuł zadania przepisała z PDF-u AI. Poziom trudności, kategorie, umiejętności i powiązania zadań też wyznaczyła AI — mogą być niedokładne. Więcej w regulaminie

Treść zadania

Treść zadania przepisana z PDF-u przez AI — w razie wątpliwości sprawdź oryginalny PDF. Więcej w regulaminie

Dany jest trójkąt ABCABC. Punkt DD leży na boku BCBC, a punkt EE leży wewnątrz trójkąta ABDABD, przy czym

∠ABE=∠CBEoraz∠BAE=∠EAD=∠DAC.\angle ABE = \angle CBE \quad \text{oraz} \quad \angle BAE = \angle EAD = \angle DAC.

Wykaż, że jeżeli punkty AA, CC, DD, EE leżą na jednym okręgu, to trójkąt ABCABC jest równoramienny.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd

Umiejętności (5)

Wymagane umiejętności:

Okręgi i koła
Obliczanie kątów
Punkty szczególne trójkąta

Zdobywane umiejętności:

Okręgi i koła
Obliczanie kątów

Wskazówki (0/4)

Wskazówki wygenerowane przez AI — mogą zawierać błędy. Więcej w regulaminie

Wskazówka 1
Narysuj dokładny rysunek. Zauważ, że BEBE jest dwusieczną kąta ∠ABC\angle ABC, a proste AEAE i ADAD dzielą kąt ∠BAC\angle BAC na trzy równe części. Oznacz ∠BAE=∠EAD=∠DAC=α\angle BAE = \angle EAD = \angle DAC = \alpha oraz ∠ABE=∠EBC=β\angle ABE = \angle EBC = \beta.
Wskazówka 2
Skoro punkty AA, CC, DD, EE leżą na jednym okręgu, powstaje czworokąt wpisany. Wykorzystaj własność: kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Sprawdź, jakie pary kątów wpisanych w ten okrąg możesz porównać.
Wskazówka 3
Porównaj kąty wpisane oparte na łuku DEDE: czy potrafisz powiedzieć coś o ∠DAE\angle DAE i ∠DCE\angle DCE? Pomyśl też, dlaczego punkt EE na dwusiecznej kąta ∠ABC\angle ABC ma równe odległości od boków ABAB i BCBC.
Wskazówka 4
Spróbuj wykazać, że CECE jest dwusieczną kąta ∠ACB\angle ACB (porównaj ∠ACE\angle ACE z ∠DCE\angle DCE przez kąty wpisane). Wtedy EE leży na dwusiecznych dwóch kątów trójkąta - jakim szczególnym punktem musi być? Co to mówi o prostej AEAE?

Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się