Zadanie 3
2025
Etap III
Kombinatoryka
Turniej szachowy 101 osób
Tytuł zadania przepisała z PDF-u AI. Poziom trudności, kategorie, umiejętności i powiązania zadań też wyznaczyła AI — mogą być niedokładne. Więcej w regulaminie
Treść zadania
Treść zadania przepisana z PDF-u przez AI — w razie wątpliwości sprawdź oryginalny PDF. Więcej w regulaminie
W turnieju szachowym uczestniczyło osób. Każda para uczestników rozegrała dokładnie jedną partię, która zakończyła się zwycięstwem jednego z nich albo remisem. Czy mogło się zdarzyć, że każdy uczestnik tego turnieju wygrał dokładnie tyle samo partii, ile zremisował? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Dowód nie wprost
Podzielność
Zdobywane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Dowód nie wprost
Wskazówki (0/4)
Wskazówki wygenerowane przez AI — mogą zawierać błędy. Więcej w regulaminie
Wskazówka 1
Przeczytaj uważnie warunki: ilu uczestników jest w turnieju, ile partii rozegrano łącznie i ile partii rozgrywa każdy uczestnik? Spróbuj zapisać te liczby.
Wskazówka 2
Załóż na chwilę, że taka sytuacja jest możliwa, i policz pewną wielkość na dwa różne sposoby - to klasyczna metoda w problemach kombinatorycznych. Może doprowadzić Cię do sprzeczności.
Wskazówka 3
Zastanów się nad sumą wszystkich wygranych partii w turnieju oraz nad sumą wszystkich remisów liczonych z punktu widzenia uczestników. Jak te sumy mają się do liczby partii zakończonych wygraną i liczby partii zremisowanych?
Wskazówka 4
Każda partia wygrana liczona jest raz w sumie wygranych, a każdy remis liczony jest dwa razy w sumie remisów (raz dla każdego z graczy). Wyraź liczbę wszystkich partii przez liczbę remisów i sprawdź, czy wynik może być liczbą całkowitą.