Zadanie 2

Zapisz, co wiesz o sumie miar kątów w trójkącie. Masz więc dwa warunki łączące $a$, $b$, $c$: jeden liniowy ($a+b+c=180$) i jeden kwadratowy ($a^2+b^2=c^2$). Czego trzeba dowieść? Że każda z liczb $a$, $b$, $c$ jest mniejsza od $90$.

Zauważ, że warunek $a^2+b^2=c^2$ przypomina twierdzenie Pitagorasa, ale tu dotyczy miar kątów, a nie boków! Spróbuj porównać $c$ z $a+b$ - czy jedna z tych liczb musi być większa od drugiej? Skorzystaj z tego, że $a$ i $b$ są dodatnie.

Sprawdź najpierw, który z kątów jest największy. Z równości $a^2+b^2=c^2$ wynika, że $c^2 \geq a^2$ oraz $c^2 \geq b^2$ - co to mówi o $c$ względem $a$ i $b$? Wystarczy więc pokazać tylko, że największy kąt $c$ jest mniejszy od $90$.

Porównaj $c^2 = a^2+b^2$ z wyrażeniem $(a+b)^2$. Co dostaniesz po rozwinięciu kwadratu sumy? Jaką nierówność między $c$ a $a+b$ to daje? Teraz wykorzystaj, że $a+b+c = 180$, żeby oszacować samo $c$.