Zadanie 1

Zapisz warunek z zadania jako równanie. Jeśli $n^2$ ma $k$ cyfr, to dopisanie cyfry $1$ z lewej strony oznacza dodanie $10^k$. Jak więc wygląda zależność między $n^3$ a $n^2$?

Przekształć otrzymane równanie tak, by po jednej stronie był iloczyn z $n$, a po drugiej potęga liczby $10$. Zastanów się, co to oznacza dla rozkładu na czynniki pierwsze.

Zauważ, że $n$ oraz $n-1$ to kolejne liczby całkowite, więc nie mają wspólnych dzielników większych niż $1$. Skoro ich iloczyn (z odpowiednią potęgą) jest potęgą liczby $10 = 2 \cdot 5$, jak mogą się rozdzielić czynniki $2$ i $5$ między $n^2$ a $n-1$?

Rozważ przypadki: $n^2$ jest potęgą dwójki, a $n-1$ potęgą piątki, lub odwrotnie. Sprawdź każdy przypadek, pamiętając że wykładniki $2$ i $5$ w iloczynie muszą być równe. Nie zapomnij sprawdzić warunku, że dopisana cyfra trafia na właściwą pozycję.