Zadanie 5

Co jest dane, a co mamy wykazać? Zauważ, że tezę $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<1$ można po pomnożeniu przez $abc$ zapisać w postaci nierówności łączącej $abc$ z sumą iloczynów $ab+bc+ca$. Spróbuj zapisać tezę bez ułamków.

Masz trzy podobne założenia: $ab>a+b+c$, $bc>a+b+c$, $ca>a+b+c$. Pomyśl, jak je sprytnie połączyć (np. mnożąc każde przez odpowiednią zmienną), żeby otrzymać nierówność z wyrazem $abc$ po jednej stronie.

Pomnóż nierówność $ab>a+b+c$ stronami przez $c$ (wolno, bo $c>0$). Zrób to samo z pozostałymi dwiema nierównościami, mnożąc przez $a$ i przez $b$. Co dostaniesz po dodaniu wszystkich trzech otrzymanych nierówności?

Po dodaniu otrzymasz $3abc>2(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)$. Skorzystaj teraz ze znanej nierówności $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ (wynika ona ze wzoru skróconego mnożenia zastosowanego do $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$). Co stąd wynika dla porównania $abc$ z $ab+bc+ca$?