Zadanie 4

Narysuj trapez i zaznacz punkty $P$ i $Q$. Co oznacza warunek $AQ = BQ$? Punkt $Q$ jest równo oddalony od $A$ i $B$, więc leży na szczególnej prostej związanej z $AB$. Podobnie pomyśl o $P$.

Skoro $Q$ jest równo oddalony od końców $AB$, to leży na symetralnej $AB$. Analogicznie $P$ leży na symetralnej $CD$. Wykorzystaj równoległość podstaw i rozważ rzuty prostopadłe punktów na podstawy.

Zrzutuj $Q$ prostopadle na $AB$ — rzut trafia w środek $AB$. Podobnie rzut $P$ trafia w środek $CD$. Spróbuj wyrazić długości $AP$, $BP$, $CQ$, $DQ$ przez położenia punktów na podstawach.

Oznacz $|AB|=a$, $|CD|=c$. Wprowadź oś prostopadłą do podstaw przez środek $AB$ i mierz położenia $P$, $Q$, $C$, $D$ względem niej. Zapisz $AP+DQ$ i $BP+CQ$ — sprawdź, że oba wyrażenia upraszczają się do tej samej sumy.