Zadanie 2
2025
Etap II
Teoria liczb
Liczba podzielna przez swoje cyfry
Tytuł zadania przepisała z PDF-u AI. Poziom trudności, kategorie, umiejętności i powiązania zadań też wyznaczyła AI — mogą być niedokładne. Więcej w regulaminie
Treść zadania
Treść zadania przepisana z PDF-u przez AI — w razie wątpliwości sprawdź oryginalny PDF. Więcej w regulaminie
W zapisie dziesiętnym dodatniej liczby całkowitej każda cyfra jest różna od oraz żadna cyfra nie pojawia się więcej niż raz. Ponadto liczba jest podzielna przez każdą ze swoich cyfr. Wykaż, że liczba ma co najwyżej cyfr.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Podzielność
Analiza przypadków
Zabawy z cyframi
Zdobywane umiejętności:
Podzielność
Analiza przypadków
Wskazówki (0/4)
Wskazówki wygenerowane przez AI — mogą zawierać błędy. Więcej w regulaminie
Wskazówka 1
Zauważ, że wszystkie cyfry liczby należą do zbioru - jest ich tylko 9 różnych. Zastanów się, jakie ograniczenia nakłada warunek podzielności przez każdą cyfrę.
Wskazówka 2
Rozważ, co się stanie, gdy wśród cyfr pojawi się jednocześnie cyfra oraz jakaś cyfra parzysta. Co wtedy musiałoby być prawdą o liczbie i jej ostatniej cyfrze?
Wskazówka 3
Rozpatrz dwa przypadki: gdy cyfra występuje wśród cyfr oraz gdy nie występuje. W pierwszym przypadku zlicz dostępne cyfry. W drugim - przypomnij sobie cechę podzielności przez i policz sumę pozostałych dostępnych cyfr.
Wskazówka 4
W przypadku bez piątki cyfry pochodzą ze zbioru . Gdyby liczba miała wszystkie tych cyfr, jaka byłaby ich suma i czy spełniałaby warunek podzielności przez (która musi być wśród cyfr)?